ИНТЕГРАЛДЫК ЭСЕПТӨӨ - Түзөтүүлөр тарыхы

Dilde, 04:52, 8 Сентябрь (Аяк оона) 2025 карата

2025-09-08T04:52:00Z

← Мурунку нускасы		04:52, 8 Сентябрь (Аяк оона) 2025 -деги абалы
1 сап:		1 сап:
	<b type='title'>ИНТЕГРА́ЛДЫК ЭСЕПТӨӨ</b> – математиканын бир бөлүмү; <i>интегралдын</i> касиетин, аны эсептөө жолун, түрдүү математикалык ж-а физикалык маселелерди чыгарууда колдонулушун изилдейт. Ал <i>дифференциал эсептөөлөрү</i> м-н тыгыз байланышта ж-а математикалык <i>анализдин</i> негизги бөлүмүн түзөт. Интегралдык эсептөөнүн келип чыгышы аянттарды ж-а көлөмдөрдү эсептөөгө байланыштуу. Мындай бир катар маселелерди байыркы грек математиктери (Евдокс Книдский, <i>Архимед</i> ж. б.) чечишкен. Мындай маселелерге кызыгуу Европада 16– 17-кылымдарда башталган. Бул мезгилде интегралдык эсептөөнүн калыптанышына ж-а өнүгүшүнө немис И. Кеплер, италян Б. Кавальери, англис Ж. Валлис, француздар Э. Торричелли, Б. Паскаль, П. Ферма, голланд X. Гюйгенс өңдүү математиктер салым кошкон. Интегралдык эсептөөнүн өнүгүшүнө И. <i>Ньютон</i> м-н немис математиги Г. Лейбництин эмгектери таасир тийгизген. Алар интегралдык эсептөөнүн негизги түшүнүктөрүн ж-а алгоритмин өз алдынча түзүшкөн. «Интегралдык эсептөө» термини ж-а интегралдын белгилениши Лейбницке таандык. Интегралдык эсептөөнүн негизги түшүнүктөрү – өз ара байланышкан аныкталбаган интеграл ж-а аныкталган интеграл. Аныкталбаган интеграл – дифференциалдоого тескери амал. Эгер дифференциал эсептөөлөрүндө белгилүү функция боюнча анын туундусу табылса, ал эми ~~Интегралдык~~ эсептөөдө тескери функциянын туундусу ~~б-ча~~ ал функциянын баштапкы түрү аныкталат. Аныкталбаган интеграл үчүн жетиштүү шарт – берилген аралыкта функциясынын үзгүлтүксүздүгү. Интегралдоо м-н дифференциалдоо амалдарынын өз ара бири бирине өтүшү <i>d∫f(x)dx=f(x)dx;		<b type='title'>ИНТЕГРА́ЛДЫК ЭСЕПТӨӨ</b> – математиканын бир бөлүмү; <i>интегралдын</i> касиетин, аны эсептөө жолун, түрдүү математикалык ж-а физикалык маселелерди чыгарууда колдонулушун изилдейт. Ал <i>дифференциал эсептөөлөрү</i> м-н тыгыз байланышта ж-а математикалык <i>анализдин</i> негизги бөлүмүн түзөт. Интегралдык эсептөөнүн келип чыгышы аянттарды ж-а көлөмдөрдү эсептөөгө байланыштуу. Мындай бир катар маселелерди байыркы грек математиктери (Евдокс Книдский, <i>Архимед</i> ж. б.) чечишкен. Мындай маселелерге кызыгуу Европада 16– 17-кылымдарда башталган. Бул мезгилде интегралдык эсептөөнүн калыптанышына ж-а өнүгүшүнө немис И. Кеплер, италян Б. Кавальери, англис Ж. Валлис, француздар Э. Торричелли, Б. Паскаль, П. Ферма, голланд X. Гюйгенс өңдүү математиктер салым кошкон. Интегралдык эсептөөнүн өнүгүшүнө И. <i>Ньютон</i> м-н немис математиги Г. Лейбництин эмгектери таасир тийгизген. Алар интегралдык эсептөөнүн негизги түшүнүктөрүн ж-а алгоритмин өз алдынча түзүшкөн. «Интегралдык эсептөө» термини ж-а интегралдын белгилениши Лейбницке таандык. Интегралдык эсептөөнүн негизги түшүнүктөрү – өз ара байланышкан аныкталбаган интеграл ж-а аныкталган интеграл. Аныкталбаган интеграл – дифференциалдоого тескери амал. Эгер дифференциал эсептөөлөрүндө белгилүү функция боюнча анын туундусу табылса, ал эми интегралдык эсептөөдө тескери функциянын туундусу боюнча ал функциянын баштапкы түрү аныкталат. Аныкталбаган интеграл үчүн жетиштүү шарт – берилген аралыкта функциясынын үзгүлтүксүздүгү. Интегралдоо м-н дифференциалдоо амалдарынын өз ара бири бирине өтүшү <i>d∫f(x)dx=f(x)dx;
	∫dF(x)=F(x)+C</i> барабардыктары м-н туюнтулат. Мындан дифференциалдоонун формулалары м-н эрежелеринен интегралдоонун тиешелүү формулалары ж-а эрежелери алынат. ∫ <i>x<sup>m </sup>dx =		∫dF(x)=F(x)+C</i> барабардыктары м-н туюнтулат. Мындан дифференциалдоонун формулалары м-н эрежелеринен интегралдоонун тиешелүү формулалары ж-а эрежелери алынат. '''∫ <i>x<sup>m </sup>dx =x m</i>+1<i>m</i> + 1<sub><i>a </sub>x
	x m</i>+1
	<i>m</i> + 1
	<sub><i>a </sub>x
	+ C, a</i> ≠ 1;		+ C, a</i> ≠ 1;
	<i>dx		<i>dx
12 сап:		9 сап:
	+ C,		+ C,
	a</i> > 1, <i>a</i> ≠ 1;		a</i> > 1, <i>a</i> ≠ 1;
	<i>a<sup>x = </sup>e<sup>x </sup>болсо,</i>		<i>a<sup>x = </sup>e<sup>x </sup>болсо,</i>'''

	∫ <i>е<sup>x </sup>dx = e<sup>x + </sup>C;		'''∫ <i>е<sup>x </sup>dx = e<sup>x + </sup>C;
	∫ sinxdx = –cosx + C;		∫ sinxdx = –cosx + C;
	dx</i>		dx</i>
21 сап:		18 сап:
	cos<sup>2 </sup><i>x		cos<sup>2 </sup><i>x
	dx		dx
	= tgx + C</i>;		= tgx + C</i>;∫

	∫
	<i>sin</i><sup>2</sup><i>x		<i>sin</i><sup>2</sup><i>x
	dx		dx
29 сап:		24 сап:
	∫		∫
	1 + <i>x</i><sup>2</sup>		1 + <i>x</i><sup>2</sup>
	= <i>arctgx + C</i>;		= <i>arctgx + C</i>;'''

	2		'''2
	1 − <i>x</i>		1 − <i>x</i>
	=arc s in<i>x +C; ∫[f (x)+f (x)]dx =</i>		=arc s in<i><nowiki>x +C; ∫[f (x)+f (x)]dx =</nowiki></i>
	<i>a		<i>a
	=∫f (x)dx ± ∫f (x)dx; ∫kf(x)dx =k∫f(x)dx, k</i> – туруктуу сан; ∫<i>udv=uv – ∫udv</i> (бөлүктөп интегралдоо формуласы); эгерде <i>x =</i> ϕ(<i>t</i>) болсо, анда		=∫f (x)dx ± ∫f (x)dx; ∫kf(x)dx =k∫f(x)dx, k</i> – туруктуу сан; ∫<i>udv=uv – ∫udv</i> (бөлүктөп интегралдоо формуласы); эгерде <i>x =</i> ϕ(<i>t</i>) болсо, анда
	<i>dx =</i> ϕ′(<i>t)dt</i> ж-а ∫<i>f(x)dx =∫[f</i>(ϕ(<i>t</i>))] ·ϕ′(<i>t)dt</i> (өзгөрмөнү алмаштыруу формуласы).		<i>dx =</i> ϕ′(<i>t)dt</i> ж-а ∫<i>f(x)dx =∫[f</i>(ϕ(<i>t</i>))] ·ϕ′(<i>t)dt</i>''' (өзгөрмөнү алмаштыруу формуласы).

	А н ы к т а л г а н и н т е г р а л – интегралдоонун жогорку пределинен функция болуучу интегралдын алдындагы функциянын баштапкы функцияларынын бири. Ал ∫<sub><i>a </sub>f (x)dx</i> түрүндө аныкталат. Бул интегралдын бир түрү – <i>Коши интегралы</i>. Аныкталган интегралдын геометриялык мааниси <i>аянт</i> түшүнүгү м-н байланыштуу. Фигура м-н беттин аянтын, нерсенин көлөмүн, оордук борборунун координаталарын ж. б-ды эсептөө м-н аныкталган интеграл табылат. [<i>a, b</i>] кесиндисинде үзгүлтүксүз функциядан алынган аныкталган интеграл – ал функциянын баштапкы функциясынын кесиндинин учтарындагы маанилеринин айырмасына барабар, башкача айтканда <i>b		А н ы к т а л г а н и н т е г р а л – интегралдоонун жогорку пределинен функция болуучу интегралдын алдындагы функциянын баштапкы функцияларынын бири. Ал '''∫<sub><i>a </sub>f (x)dx</i>''' түрүндө аныкталат. Бул интегралдын бир түрү – <i>Коши интегралы</i>. Аныкталган интегралдын геометриялык мааниси <i>аянт</i> түшүнүгү м-н байланыштуу. Фигура м-н беттин аянтын, нерсенин көлөмүн, оордук борборунун координаталарын ж. б-ды эсептөө м-н аныкталган интеграл табылат. [<i>a, b</i>] кесиндисинде үзгүлтүксүз функциядан алынган аныкталган интеграл – ал функциянын баштапкы функциясынын кесиндинин учтарындагы маанилеринин айырмасына барабар, башкача айтканда <i>b∫a f (x)dx = F(b) − F(a) (Ньютон-Лейбниц формуласы</i>). Аныкталган интеграл аныкталбаган интегралдын формулалары ж-а эрежелери м-н эсептелет. Интегралдык эсептөө математиканын көп бөлүмдөрүндө (<i>дифференциал</i> ж-а интеграл теңдемелери теориясында, <i>ыктымалдык теориясында</i> ж-а м<i>атематикалык статистикада</i>, оптималдык процесстер теориясында ж.б.) ж-а анын колдонмолорунда пайдаланылат. Ньютондун эмгектеринде аныкталбаган интеграл жөнүндөгү түшүнүк, ал эми Лейбництин эмгектеринде аныкталган интеграл жөнүндөгү түшүнүктөр негизги ролду ойногон. Интегралдык эсептөөнүн андан аркы өнүгүшү 18-кылымда швейцариялык математик И. Бернулли, франциялык математик Ж. Лагранж ж-а өзгөчө Л. <i>Эйлердин</i> ысымы м-н байланыштуу. 19-кылымда интегралдык эсептөөнү өнүктүрүүгө О. <i>Коши</i>, немис математиги Б. Риман, орус математиктери М. В. Остроградский, В. Я. Буняковский, П. Л. Чебышевдер салым кошкон. 19-кылымдын аягы – 20-кылымдын башында көптүктөр теориясынын ж-а чыныгы өзгөрмөлүү функциялар теориясынын өнүгүшү интегралдык эсептөөнүн негизги түшүнүктөрүн тереңдетүүгө ж-а жалпылоого алып келди.
	∫a f (x)dx = F(b) − F(a) (Ньютон-Лейбниц формуласы</i>). Аныкталган интеграл аныкталбаган интегралдын формулалары ж-а эрежелери м-н эсептелет. Интегралдык эсептөө математиканын көп бөлүмдөрүндө (<i>дифференциал</i> ж-а интеграл теңдемелери теориясында, <i>ыктымалдык теориясында</i> ж-а м<i>атематикалык статистикада</i>, оптималдык процесстер теориясында ж.б.) ж-а анын колдонмолорунда пайдаланылат. Ньютондун эмгектеринде аныкталбаган интеграл жөнүндөгү түшүнүк, ал эми Лейбництин эмгектеринде аныкталган интеграл жөнүндөгү түшүнүктөр негизги ролду ойногон. Интегралдык эсептөөнүн андан аркы өнүгүшү 18-кылымда швейцариялык математик И. Бернулли, франциялык математик Ж. Лагранж ж-а өзгөчө Л. <i>Эйлердин</i> ысымы м-н байланыштуу. 19-кылымда интегралдык эсептөөнү өнүктүрүүгө О. <i>Коши</i>, немис математиги Б. Риман, орус математиктери М. В. Остроградский, В. Я. Буняковский, П. Л. Чебышевдер салым кошкон. 19-кылымдын аягы – 20-кылымдын башында көптүктөр теориясынын ж-а чыныгы өзгөрмөлүү функциялар теориясынын өнүгүшү интегралдык эсептөөнүн негизги түшүнүктөрүн тереңдетүүгө ж-а жалпылоого алып келди.

Temirkan: /* А н ы к т а л г а н и н т е г р а л */

2025-08-28T07:52:05Z

А н ы к т а л г а н и н т е г р а л

← Мурунку нускасы		07:52, 28 Август (Баш оона) 2025 -деги абалы
36 сап:		36 сап:
	<i>a		<i>a
	=∫f (x)dx ± ∫f (x)dx; ∫kf(x)dx =k∫f(x)dx, k</i> – туруктуу сан; ∫<i>udv=uv – ∫udv</i> (бөлүктөп интегралдоо формуласы); эгерде <i>x =</i> ϕ(<i>t</i>) болсо, анда		=∫f (x)dx ± ∫f (x)dx; ∫kf(x)dx =k∫f(x)dx, k</i> – туруктуу сан; ∫<i>udv=uv – ∫udv</i> (бөлүктөп интегралдоо формуласы); эгерде <i>x =</i> ϕ(<i>t</i>) болсо, анда
	<i>dx =</i> ϕ′(<i>t)dt</i> ж-а ∫<i>f(x)dx =∫[f</i>(ϕ(<i>t</i>))] ·ϕ′(<i>t)dt</i> (өзгөрмөнү алмаштыруу формуласы).		<i>dx =</i> ϕ′(<i>t)dt</i> ж-а ∫<i>f(x)dx =∫[f</i>(ϕ(<i>t</i>))] ·ϕ′(<i>t)dt</i> (өзгөрмөнү алмаштыруу формуласы).

	~~==<s>~~А н ы к т а л г а н и н т е г р а л~~</s>==~~		А н ы к т а л г а н и н т е г р а л – интегралдоонун жогорку пределинен функция болуучу интегралдын алдындагы функциянын баштапкы функцияларынын бири. Ал ∫<sub><i>a </sub>f (x)dx</i> түрүндө аныкталат. Бул интегралдын бир түрү – <i>Коши интегралы</i>. Аныкталган интегралдын геометриялык мааниси <i>аянт</i> түшүнүгү м-н байланыштуу. Фигура м-н беттин аянтын, нерсенин көлөмүн, оордук борборунун координаталарын ж. б-ды эсептөө м-н аныкталган интеграл табылат. [<i>a, b</i>] кесиндисинде үзгүлтүксүз функциядан алынган аныкталган интеграл – ал функциянын баштапкы функциясынын кесиндинин учтарындагы маанилеринин айырмасына барабар, башкача айтканда <i>b
	– интегралдоонун жогорку пределинен функция болуучу интегралдын алдындагы функциянын ~~баштап-~~		∫a f (x)dx = F(b) − F(a) (Ньютон-Лейбниц формуласы</i>). Аныкталган интеграл аныкталбаган интегралдын формулалары ж-а эрежелери м-н эсептелет. Интегралдык эсептөө математиканын көп бөлүмдөрүндө (<i>дифференциал</i> ж-а интеграл теңдемелери теориясында, <i>ыктымалдык теориясында</i> ж-а м<i>атематикалык статистикада</i>, оптималдык процесстер теориясында ж.б.) ж-а анын колдонмолорунда пайдаланылат. Ньютондун эмгектеринде аныкталбаган интеграл жөнүндөгү түшүнүк, ал эми Лейбництин эмгектеринде аныкталган интеграл жөнүндөгү түшүнүктөр негизги ролду ойногон. Интегралдык эсептөөнүн андан аркы өнүгүшү 18-кылымда швейцариялык математик И. Бернулли, франциялык математик Ж. Лагранж ж-а өзгөчө Л. <i>Эйлердин</i> ысымы м-н байланыштуу. 19-кылымда интегралдык эсептөөнү өнүктүрүүгө О. <i>Коши</i>, немис математиги Б. Риман, орус математиктери М. В. Остроградский, В. Я. Буняковский, П. Л. Чебышевдер салым кошкон. 19-кылымдын аягы – 20-кылымдын башында көптүктөр теориясынын ж-а чыныгы өзгөрмөлүү функциялар теориясынын өнүгүшү интегралдык эсептөөнүн негизги түшүнүктөрүн тереңдетүүгө ж-а жалпылоого алып келди.
	~~<i>b</i>~~
	кы функцияларынын бири. Ал ∫<sub><i>a </sub>f (x)dx</i> түрүндө аныкталат. Бул интегралдын бир түрү – <i>Коши
	интегралы</i>. Аныкталган интегралдын ~~геом.~~ мааниси <i>аянт</i> түшүнүгү м-н байланыштуу. Фигура м-н беттин аянтын, нерсенин көлөмүн, оордук борборунун координаталарын ж. б-ды эсептөө м-н аныкталган интеграл табылат. [<i>a, b</i>] кесиндисинде үзгүлтүксүз функциядан алынган аныкталган интеграл – ал функциянын баштапкы функциясынын кесиндинин учтарындагы маанилеринин айырмасына барабар, б. а.

	~~<i>b~~
	~~∫a f (x)dx = F(b) − F(a) (Ньютон-Лейбниц формуласы</i>). Аныкталган интеграл аныкталбаган~~
	~~интегралдын формулалары ж-а эрежелери м-н~~
	эсептелет. И. э. математиканын көп бөлүмдөрүндө (<i>дифференциал</i> ж-а интеграл теңдемелери теориясында, <i>ыктымалдык теориясында</i>
	~~ж-а м<i>атематикалык статистикада</i>, оптималдык процесстер теориясында ж.б.) ж-а анын~~
	~~колдонмолорунда пайдаланылат. Ньютондун~~
	эмгектеринде аныкталбаган интеграл ж-дөгү түшүнүк, ал эми Лейбництин эмгектеринде аныкталган интеграл ж-дөгү түшүнүктөр негизги ролду ойногон. И. э-нүн андан аркы өнүгүшү 18-к-да
	~~швейцариялык математик И. Бернулли, фр.~~
	~~математик Ж. Лагранж ж-а өзгөчө Л. <i>Эйлердин</i> ысымы м-н байланыштуу. 19-к-да И. э-нү~~
	~~өнүктүрүүгө О. <i>Коши</i>, немис математиги Б. Риман, орус математиктери М. В. Остроградский,~~
	~~В. Я. Буняковский, П. Л. Чебышевдер салым~~
	~~кошкон. 19-к-дын аягы – 20-к-дын башында~~
	~~көптүктөр теориясынын ж-а чыныгы өзгөрмөлүү~~
	~~функциялар теориясынын өнүгүшү И. э-нүн негизги түшүнүктөрүн тереңдетүүгө ж-а жалпылоого алып келди.~~

			Ад.: <i>Эйлер</i> Л. Интегральное исчисление / Пер. с латин. Т. 1 – 3. М., 1956–58; <i>Усубакунов</i> Р. Дифференциалдык жана интегралдык эсептөөлөр. 2-б. Ф., 1969; <i>Бугров</i> Я. С., <i>Никольский</i> С. М. Дифференциальное и интегральное исчисления. М., 1988.
	Ад.: <i>Эйлер</i> Л. Интегральное исчисление / Пер. с
	латин. Т. 1 – 3. М., 1956–58; <i>Усубакунов</i> Р. Дифференциалдык жана интегралдык эсептөөлөр. 2-б. Ф., 1969;
	<i>Бугров</i> Я. С., <i>Никольский</i> С. М. Дифференциальное и интегральное исчисления. М., 1988.

	<p align='right'><i type='author'>Б.Н. Назаркулова.</i></p>		<p align='right'><i type='author'>Б.Н. Назаркулова.</i></p>
	[[Категория:3-том, 544-607 бб]]		[[Категория:3-том, 544-607 бб]]

Temirkan, 07:43, 28 Август (Баш оона) 2025 карата

2025-08-28T07:43:49Z

← Мурунку нускасы		07:43, 28 Август (Баш оона) 2025 -деги абалы
1 сап:		1 сап:
	<b type='title'>ИНТЕГРА́ЛДЫК ЭСЕПТӨӨ</b> – математиканын бир бөлүмү; <i>интегралдын</i> касиетин, аны эсептөө жолун, түрдүү ~~матем.~~ ж-а ~~физ.~~ маселелерди чыгарууда колдонулушун изилдейт. Ал <i>дифференциал эсептөөлөрү</i> м-н тыгыз байланышта ж-а математикалык <i>анализдин</i> негизги бөлүмүн түзөт. ~~И. э-нүн~~ келип чыгышы аянттарды ж-а көлөмдөрдү эсептөөгө байланыштуу. Мындай бир катар маселелерди байыркы грек математиктери (Евдокс Книдский, <i>Архимед</i> ж. б.) чечишкен. Мындай маселелерге кызыгуу Европада 16– 17-~~к-да~~ башталган. Бул мезгилде ~~И. э-нүн~~ калыптанышына ж-а өнүгүшүнө немис И. Кеплер, италян Б. Кавальери, англис Ж. Валлис, француздар Э. Торричелли, Б. Паскаль, П. Ферма, голланд X. Гюйгенс өңдүү математиктер салым кошкон. ~~И. э-нүн~~ өнүгүшүнө И. <i>Ньютон</i>		<b type='title'>ИНТЕГРА́ЛДЫК ЭСЕПТӨӨ</b> – математиканын бир бөлүмү; <i>интегралдын</i> касиетин, аны эсептөө жолун, түрдүү математикалык ж-а физикалык маселелерди чыгарууда колдонулушун изилдейт. Ал <i>дифференциал эсептөөлөрү</i> м-н тыгыз байланышта ж-а математикалык <i>анализдин</i> негизги бөлүмүн түзөт. Интегралдык эсептөөнүн келип чыгышы аянттарды ж-а көлөмдөрдү эсептөөгө байланыштуу. Мындай бир катар маселелерди байыркы грек математиктери (Евдокс Книдский, <i>Архимед</i> ж. б.) чечишкен. Мындай маселелерге кызыгуу Европада 16– 17-кылымдарда башталган. Бул мезгилде интегралдык эсептөөнүн калыптанышына ж-а өнүгүшүнө немис И. Кеплер, италян Б. Кавальери, англис Ж. Валлис, француздар Э. Торричелли, Б. Паскаль, П. Ферма, голланд X. Гюйгенс өңдүү математиктер салым кошкон. Интегралдык эсептөөнүн өнүгүшүнө И. <i>Ньютон</i> м-н немис математиги Г. Лейбництин эмгектери таасир тийгизген. Алар интегралдык эсептөөнүн негизги түшүнүктөрүн ж-а алгоритмин өз алдынча түзүшкөн. «Интегралдык эсептөө» термини ж-а интегралдын белгилениши Лейбницке таандык. Интегралдык эсептөөнүн негизги түшүнүктөрү – өз ара байланышкан аныкталбаган интеграл ж-а аныкталган интеграл. Аныкталбаган интеграл – дифференциалдоого тескери амал. Эгер дифференциал эсептөөлөрүндө белгилүү функция боюнча анын туундусу табылса, ал эми Интегралдык эсептөөдө тескери функциянын туундусу б-ча ал функциянын баштапкы түрү аныкталат. Аныкталбаган интеграл үчүн жетиштүү шарт – берилген аралыкта функциясынын үзгүлтүксүздүгү. Интегралдоо м-н дифференциалдоо амалдарынын өз ара бири бирине өтүшү <i>d∫f(x)dx=f(x)dx;
	м-н немис математиги Г. Лейбництин эмгектери таасир тийгизген. Алар ~~И. э-нүн~~ негизги түшүнүктөрүн ж-а алгоритмин өз алдынча түзүшкөн.		∫dF(x)=F(x)+C</i> барабардыктары м-н туюнтулат. Мындан дифференциалдоонун формулалары м-н эрежелеринен интегралдоонун тиешелүү формулалары ж-а эрежелери алынат. ∫ <i>x<sup>m </sup>dx =
	~~«И. э.»~~ термини ж-а интегралдын белгилениши Лейбницке таандык. ~~И. э-нүн~~ негизги түшүнүктөрү – өз ара байланышкан аныкталбаган интеграл ж-а аныкталган интеграл. Аныкталбаган интеграл – дифференциалдоого тескери амал. Эгер дифференциал эсептөөлөрүндө белгилүү функция ~~б-ча~~ анын туундусу табылса, ал эми ~~И. э-дө~~ тескери функциянын туундусу б-ча ал функциянын баштапкы түрү аныкталат. Аныкталбаган интеграл үчүн жетиштүү шарт – берилген аралыкта функциясынын үзгүлтүксүздүгү. Интегралдоо м-н дифференциалдоо амалдарынын өз ара бири бирине өтүшү <i>d∫f(x)dx=f(x)dx;
	∫dF(x)=F(x)+C</i> барабардыктары м-н туюнтулат. Мындан дифференциалдоонун формулалары м-н эрежелеринен интегралдоонун тиешелүү формулалары ж-а эрежелери алынат.
	∫ <i>x<sup>m </sup>dx =
	x m</i>+1		x m</i>+1
	<i>m</i> + 1		<i>m</i> + 1
41 сап:		38 сап:
	<i>dx =</i> ϕ′(<i>t)dt</i> ж-а ∫<i>f(x)dx =∫[f</i>(ϕ(<i>t</i>))] ·ϕ′(<i>t)dt</i> (өзгөрмөнү алмаштыруу формуласы).		<i>dx =</i> ϕ′(<i>t)dt</i> ж-а ∫<i>f(x)dx =∫[f</i>(ϕ(<i>t</i>))] ·ϕ′(<i>t)dt</i> (өзгөрмөнү алмаштыруу формуласы).

	==А н ы к т а л г а н и н т е г р а л==		==<s>А н ы к т а л г а н и н т е г р а л</s>==
	– интегралдоонун жогорку пределинен функция болуучу интегралдын алдындагы функциянын баштап-		– интегралдоонун жогорку пределинен функция болуучу интегралдын алдындагы функциянын баштап-
	<i>b</i>		<i>b</i>
69 сап:		66 сап:
	<p align='right'><i type='author'>Б.Н. Назаркулова.</i></p>		<p align='right'><i type='author'>Б.Н. Назаркулова.</i></p>
	[[Категория:3-том, 544-607 бб]]		[[Категория:3-том, 544-607 бб]]

Kadyrm: 1 версия

2025-08-22T03:14:59Z

1 версия

← Мурунку нускасы	03:14, 22 Август (Баш оона) 2025 -деги абалы
(Айырма жок)

vol3>KadyrM, 06:47, 30 Июнь (Кулжа) 2025 карата

2025-06-30T06:47:36Z

Жаңы барак

ИНТЕГРА́ЛДЫК ЭСЕПТӨӨ – математиканын бир бөлүмү; интегралдын касиетин, аны эсептөө жолун, түрдүү матем. ж-а физ. маселелерди чыгарууда колдонулушун изилдейт. Ал дифференциал эсептөөлөрү м-н тыгыз байланышта ж-а математикалык анализдин негизги бөлүмүн түзөт. И. э-нүн келип чыгышы аянттарды ж-а көлөмдөрдү эсептөөгө байланыштуу. Мындай бир катар маселелерди байыркы грек математиктери (Евдокс Книдский, Архимед ж. б.) чечишкен. Мындай маселелерге кызыгуу Европада 16– 17-к-да башталган. Бул мезгилде И. э-нүн калыптанышына ж-а өнүгүшүнө немис И. Кеплер, италян Б. Кавальери, англис Ж. Валлис, француздар Э. Торричелли, Б. Паскаль, П. Ферма, голланд X. Гюйгенс өңдүү математиктер салым кошкон. И. э-нүн өнүгүшүнө И. Ньютон
м-н немис математиги Г. Лейбництин эмгектери таасир тийгизген. Алар И. э-нүн негизги түшүнүктөрүн ж-а алгоритмин өз алдынча түзүшкөн.
«И. э.» термини ж-а интегралдын белгилениши Лейбницке таандык. И. э-нүн негизги түшүнүктөрү – өз ара байланышкан аныкталбаган интеграл ж-а аныкталган интеграл. Аныкталбаган интеграл – дифференциалдоого тескери амал. Эгер дифференциал эсептөөлөрүндө белгилүү функция б-ча анын туундусу табылса, ал эми И. э-дө тескери функциянын туундусу б-ча ал функциянын баштапкы түрү аныкталат. Аныкталбаган интеграл үчүн жетиштүү шарт – берилген аралыкта функциясынын үзгүлтүксүздүгү. Интегралдоо м-н дифференциалдоо амалдарынын өз ара бири бирине өтүшү d∫f(x)dx=f(x)dx;
∫dF(x)=F(x)+C барабардыктары м-н туюнтулат. Мындан дифференциалдоонун формулалары м-н эрежелеринен интегралдоонун тиешелүү формулалары ж-а эрежелери алынат.
∫ xm dx =
x m+1
m + 1
a x
+ C, a ≠ 1;
dx
∫ = ln x + C
x
∫ ax dx =
lna
+ C,
a > 1, a ≠ 1;
ax = ex болсо,

∫ еx dx = ex + C;
∫ sinxdx = –cosx + C;
dx
∫ cosxdx = sinx + C ; ∫
dx
cos2 x
dx
= tgx + C;

∫
sin2x
dx
= −сtgx + C;
∫
1 + x2
= arctgx + C;

2
1 − x
=arc s inx +C; ∫[f (x)+f (x)]dx =
a
=∫f (x)dx ± ∫f (x)dx; ∫kf(x)dx =k∫f(x)dx, k – туруктуу сан; ∫udv=uv – ∫udv (бөлүктөп интегралдоо формуласы); эгерде x = ϕ(t) болсо, анда
dx = ϕ′(t)dt ж-а ∫f(x)dx =∫[f(ϕ(t))] ·ϕ′(t)dt (өзгөрмөнү алмаштыруу формуласы).

==А н ы к т а л г а н и н т е г р а л==
– интегралдоонун жогорку пределинен функция болуучу интегралдын алдындагы функциянын баштап-
b
кы функцияларынын бири. Ал ∫a f (x)dx түрүндө аныкталат. Бул интегралдын бир түрү – Коши
интегралы. Аныкталган интегралдын геом. мааниси аянт түшүнүгү м-н байланыштуу. Фигура м-н беттин аянтын, нерсенин көлөмүн, оордук борборунун координаталарын ж. б-ды эсептөө м-н аныкталган интеграл табылат. [a, b] кесиндисинде үзгүлтүксүз функциядан алынган аныкталган интеграл – ал функциянын баштапкы функциясынын кесиндинин учтарындагы маанилеринин айырмасына барабар, б. а.

b
∫a f (x)dx = F(b) − F(a) (Ньютон-Лейбниц формуласы). Аныкталган интеграл аныкталбаган
интегралдын формулалары ж-а эрежелери м-н
эсептелет. И. э. математиканын көп бөлүмдөрүндө (дифференциал ж-а интеграл теңдемелери теориясында, ыктымалдык теориясында
ж-а математикалык статистикада, оптималдык процесстер теориясында ж.б.) ж-а анын
колдонмолорунда пайдаланылат. Ньютондун
эмгектеринде аныкталбаган интеграл ж-дөгү түшүнүк, ал эми Лейбництин эмгектеринде аныкталган интеграл ж-дөгү түшүнүктөр негизги ролду ойногон. И. э-нүн андан аркы өнүгүшү 18-к-да
швейцариялык математик И. Бернулли, фр.
математик Ж. Лагранж ж-а өзгөчө Л. Эйлердин ысымы м-н байланыштуу. 19-к-да И. э-нү
өнүктүрүүгө О. Коши, немис математиги Б. Риман, орус математиктери М. В. Остроградский,
В. Я. Буняковский, П. Л. Чебышевдер салым
кошкон. 19-к-дын аягы – 20-к-дын башында
көптүктөр теориясынын ж-а чыныгы өзгөрмөлүү
функциялар теориясынын өнүгүшү И. э-нүн негизги түшүнүктөрүн тереңдетүүгө ж-а жалпылоого алып келди.

Ад.: Эйлер Л. Интегральное исчисление / Пер. с
латин. Т. 1 – 3. М., 1956–58; Усубакунов Р. Дифференциалдык жана интегралдык эсептөөлөр. 2-б. Ф., 1969;
Бугров Я. С., Никольский С. М. Дифференциальное и интегральное исчисления. М., 1988.

Б.Н. Назаркулова.
[[Категория:3-том, 544-607 бб]]